商與餘數計算機｜整數除法快速求商數、餘數與精確值

什麼是商與餘數計算機？

商數計算機會將一個數字（被除數，a）除以另一個數字（除數，b），並一次給你三項結果：整數的商數、相除後剩下的餘數，以及這道除法的精確小數值。它是一款通用的算術工具，無論是學生、程式設計師，或任何需要處理整數除法的人，都能派上用場。

如何使用

在第一個欄位輸入被除數，第二個欄位輸入除數，結果就會立刻顯示出來。舉例來說，17 除以 5 的商數是 3、餘數是 2，因為 5 在 17 裡可以整除三次（共 15），剩下 2。

公式說明

商數採用「向下取整除法（floor division）」：

$$\text{Quotient} = \left\lfloor \frac{\text{Dividend }(a)}{\text{Divisor }(b)} \right\rfloor, \qquad \text{Remainder} = a - b \cdot \text{Quotient}$$

也就是無條件捨去到最接近的整數。接著用 \(r = a - b\cdot q\) 算出餘數。如此一來，\(a = b\cdot q + r\) 這個除法演算法的基本恆等式必然成立。

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被除數 a 被分成 q 個大小為 b 的完整組，餘下餘數 r。

實際範例

以 17 除以 5 為例：

$$\left\lfloor \frac{17}{5} \right\rfloor = \lfloor 3.4 \rfloor = 3$$

所以商數是 3。餘數為 \(17 - 5\times 3 = 17 - 15 = 2\)，而精確結果是 \(3.4\)。

數一數 a 中能容納多少個完整的 b 步即得商，剩下的就是餘數。

更多計算範例

每個範例都使用規則 \(q = \lfloor a/b \rfloor\) 與 \(r = a - b\cdot q\)，然後驗證恆等式 \(a = b\cdot q + r\)。

範例 1：除數大於被除數（3 ÷ 8）

相除：\(3 / 8 = 0.375\)。

取下整數：\(q = \lfloor 0.375 \rfloor = 0\)。

餘數：\(r = 3 - 8\cdot 0 = 3\)。

驗算：\(8\cdot 0 + 3 = 3\)。✓

商數：0，餘數 3，小數 0.375。當除數大於正的被除數時，商數永遠是 0，而餘數就是被除數本身。

範例 2：負的被除數（−17 ÷ 5）

相除：\(-17 / 5 = -3.4\)。

取下整數（朝負無限大取整，而非朝零取整）：\(q = \lfloor -3.4 \rfloor = -4\)。

餘數：\(r = -17 - 5\cdot(-4) = -17 + 20 = 3\)。

驗算：\(5\cdot(-4) + 3 = -20 + 3 = -17\)。✓

商數：-4，餘數 3。餘數保持在 0 到 4 之間，因此商數是 −4 而非 −3。

範例 3：小數的被除數（7.5 ÷ 2）

相除：\(7.5 / 2 = 3.75\)。

取下整數：\(q = \lfloor 3.75 \rfloor = 3\)。

餘數：\(r = 7.5 - 2\cdot 3 = 7.5 - 6 = 1.5\)。

驗算：\(2\cdot 3 + 1.5 = 7.5\)。✓

商數 3，餘數 1.5，小數 3.75。如要求所述，餘數小於除數（1.5 < 2）。

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不同輸入的商數與餘數

被除數

除數

商數

餘數

精確小數

17

5

3

2

3.4

20

5

4

0

4（整除）

3

8

0

3

0.375

−17

5

−4

3

−3.4

100

7

14

2

14.2857…（循環）

7.5

2

3

1.5

3.75

注意：餘數為 0 表示除數能整除被除數，因此精確小數是整數（如 20 ÷ 5 = 4）。任何非零的餘數都表示相除後會留下小數部分。

常見問題

被除數是負數時會怎樣？由於我們使用向下取整除法，\(-17 \div 5\) 的商數為 \(-4\)（\(-3.4\) 向下取整），餘數為 3，因此餘數會維持為非負數。

如果除數是 0 呢？除以零在數學上沒有定義，因此計算機會傳回全部為零的結果——請輸入非零的除數。

可以計算小數嗎？可以。商數一樣是 \(a/b\) 的向下取整，餘數也依照相同的恆等式計算。